Fast implicit schemes for the Fokker-Planck-Landau equation Schémas implicites rapides pour l’équation Fokker-Planck-Landau

We propose new implicit schemes to solve the homogeneous and isotropic Fokker-Planck-Landau equation. These schemes have conservation and entropy properties. Moreover, they allow for large time steps (of the order of the physical relaxation time), contrary to usual explicit schemes. We use in particular fast linear Krylov solvers like the GMRES method. These schemes allow an important gain in terms of CPU time, with the same accuracy as explicit schemes. This work is a first step to the development of fast implicit schemes to solve more realistic kinetic models. To cite this article: M. Lemou, L. Mieussens, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003). Résumé Nous proposons de nouveaux schémas implicites pour résoudre l’équation de Fokker-Planck-Landau homogène isotrope. Ces schémas possèdent des propriétés de conservation et d’entropie. Ils permettent l’utilisation de pas de temps de l’ordre du temps de relaxation physique, contrairement aux schémas explicites usuels. Nous utilisons en particulier des solveurs linéaires rapides de type Krylov comme la méthode GMRES. Ces schémas offrent un gain important en temps CPU avec une précision comparable à celle des schémas explicites. Ce travail constitue une première étape en vue du développement de schémas implicites rapides pour résoudre des équations cinétiques plus réalistes. Pour citer cet article : M. Lemou, L. Mieussens, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003). Version française abrégée Dans cette Note, nous développons des schémas implicites en temps pour résoudre l’équation de Fokker-Planck-Landau homogène isotrope (1). Ce travail constitue une première étape pour construire des schémas rapides pour des modèles de collision plus complexes. Email addresses: [email protected] (Mohammed Lemou), [email protected] (Luc Mieussens). Preprint submitted to Elsevier Science 18 mars 2004 La majorité des méthodes numériques actuelles utilisent des schémas explicites en temps souffrant d’une condition sur le pas de temps très restrictive (condition CFL). Même en utilisant des algorithmes rapides pour le calcul des collisions, cette condition induit un coût global en O(N) pour atteindre un temps de simulation donné, N étant le nombre de points de discrétisation de la méthode [2]. Or il est connu que les schémas implicites en temps permettent de s’affranchir de la condition CFL et d’utiliser un pas de temps de l’ordre du temps de relaxation physique. Cependant, à notre connaissance, les schémas implicites existants sont soit trop coûteux en raison de l’inversion d’un grand sytème linéaire [4], soit non conservatifs [3]. Nous proposons alors différents schémas implicites qui permettent la résolution de (1) pour un coût global en O(nKN) seulement (avec nK ≤ N), tout en étant conservatifs et précis. Cette réduction du coût est due au fait que le pas de temps ne dépend plus de N et que les systèmes linéaires sont résolus par des algorithmes rapides. Pour construire de tels schémas, nous proposons d’impliciter les termes de diffusion intervenant dans l’opérateur de collision (à l’origine de la condition CFL), tout en préservant la symétrie de l’opérateur nécessaire aux propriétés de conservation et d’entropie. Nous introduisons alors le schéma contracté (3) qui est un schéma implicite linéaire utilisant l’opérateur q donné par (4). Ensuite, nous introduisons une classe de θ-schémas (6) contenant le schéma implicite linéarisé développé dans [4]. Nous montrons dans la proposition 2.1 que tous nos schémas sont conservatifs. De plus le schéma contracté est entropique et le θ-schéma est d’ordre deux en temps pour θ = 12 . En ce qui concerne la résolution des systèmes linéaires associés à nos schémas implicites, nous montrons que des méthodes de type Krylov permettent de les résoudre de manière approchée, tout en préservant exactement les propriétés de conservation. Pour illustrer ces propriétés, nous présentons enfin deux tests numériques. Sur la figure 1, nous montrons que notre schéma implicite permet l’utilisation d’un pas de temps de l’ordre du temps de relaxation physique et conduit à des résultats très proches de la solution exacte. Sur la figure 2, nous constatons que le coût de calcul pour atteindre un temps de simulation donné est bien inférieur à O(N) pour le schéma implicite contracté, alors qu’il est en O(N) pour le schéma explicite. Nous pensons que la stratégie présentée peut s’étendre au cas tridimensionnel ainsi qu’à d’autres opérateurs de collision. Dans ces cas, des techniques de calcul rapide des collisions comme celles développées dans [6,1], et des méthodes de préconditionnement des systèmes linéaires pourront être utilisées. Ceci fait l’objet d’un travail futur.